大家看一下书上的 45 页。这一页上的两张几何图，就是分别表示收入的总量、平均量（以产量为平均基准）、边际量的关系。上图画的是总量（总收入），下图画的是平均量与边际量。大家要注意，总量不能与平均量、边际量画在同一张图里，因为它的纵轴是收入，而不是收入除以产量。
从代数来看，平均量就是总量除以用作平均基准的数量，具体在这个例子里，是 AR=R/Q 。 边际量是总量的变动除以用作平均基准的数量数量的变动，具体在这个例子里，是 M R=ΔR/ΔQ 。你们在“高等数学·微积分”的课程里已经学过了，如果 Q 的变动（即 ΔQ ）是无穷小，也就是取极限时， MR ＝ dR/dQ ，这是微积分中的导数。
从几何来看，平均量曲线是怎么从总量曲线推导出来的呢？总量曲线上的某上一点，其相应的平均量就是该点与原点所确定的直线的斜率。比如说 45 页上的上图里的 N 点， ON 线段的斜率是什么？对了，是对边除以邻边，也就是 N 点的 Y 坐标值除以 N 点的 X 坐标值。而 Y 坐标反应的是总收入 R ， X 坐标反应的是产量 Q ，因此这跟代数上 AR ＝ R/Q 是同一回事。边际量呢？学过微积分就知道啦，代数上的导数就是几何上的曲线斜率嘛。所以边际量曲线上的每一点，就是相应的总量曲线的斜率。
看完了如何分别从代数与几何的角度来从总量推导出相应的平均量、边际量之后，我们再来看这三个量之间的关系。这里有一系列的命题，书上是在第 49 页。先看总量与边际量的关系。继续以我们刚才的例子来理解吧。现在从外面走进一个人来，他的重量就是边际量，是正数。他的进来导致这课室里的人的总重量增加，也就是边际量是正时，总量增加。这就是命题 2-1a 。如果是从这课室里走出去一个人，他的重量也是边际量，但这时属于负数——因为他是走出去，不是走进来。他的出去导致这课室里的人的总重量下降，也就是边际量是负时，总量减少。这就是命题 2-1b 。最后大家再回看一下第 45 页的表示总量的上图，那条总收入曲线的最大值在哪里啊？是在那个“山顶”上。这时的斜率是多少？学过中学几何的都能不假思索的回答，当然是零啦！斜率是什么？对了，我们刚刚才学习过，总量曲线的斜率就是边际量！这条总收入曲线从几何上说是开口向下的抛物线，那如果是倒过来的、开口向上的抛物线，它的斜率为零时是什么啊？对了，那是它的最小值。最大值、最小值都是极值，都是斜率为零的。于是，总量达到最大值或最小值时，相应的边际量是零。这就是命题 2-1c 。
再来看平均量与边际量的关系。现在从外面走进一个人来，但我们要界定他是“胖子”还是“瘦子”。怎么界定呢？很简单，如果他的重量大于他进来之前的这个课室里的人的平均重量，我们就叫他做“胖子”；反之，如果他的重量小于那平均重量，我们就叫他做“瘦子”。这种界定很合理，是吧？如果这时进来的是个胖子，显然，他的进来会拉高了这个课室里的人的平均重量；但如果进来的是个瘦子，他的进来会拉低了平均重量。也就是说，边际量（进来的人的体重）大于平均量时（或者说从几何来看是边际量曲线位于平均量曲线的上方时），平均量会上升；反之，边际量小于平均量时（边际量曲线位于平均量的下方时），平均量会下降。这就是命题 2-2a 和命题 2-2b 。如果进来的那个人既不胖也不瘦，也就是他重量刚好与平均重量是一样的，那他的进来不会改变平均重量。于是，边际量等于平均量时，平均量没有变化，这就是命题 2-2c 。在从几何上看，这时的边际量曲线从平均量曲线的最高点或最低点穿过。为什么呢？大家看书上 50 页的图，这是用总成本、平均成本、边际成本来反应这三个量的关系的图。我们现在只看画了平均成本与边际成本的下图。在 L’ 点的左方， MC （边际成本）曲线位于 AC （平均成本）曲线的下方，即 MC<AC ，于是 AC 被 MC 拉得往下降；在 L’ 点的右方， MC 曲线位于 AC 曲线的上方，即 MC>AC ，于是 AC 被 MC 拉得往上升。 AC 曲线在 L’ 点左方上下降的，在 L’ 点右方是上升的，因此 L’ 点就是一个转折点，也是 AC 曲线的最低点， MC 曲线在这最低点穿上去。大家也可以想象一种反过来的情况，也就是一开始时边际量曲线是位于平均量曲线的上方，把平均量曲线拉得往上升；后来边际量曲线位于平均量曲线的下方，把平均量曲线拉得往下降；在平均量曲线从上升变为下降的转折点上，是它的最高点，边际量曲线从这最高点穿下来。
以上就是从数学的角度来介绍边际的概念。然而，边际是一个经济学概念，并不是数学的概念，否则不如直截了当把“导数”这个术语搬过来，何必另外命名为“边际”？边际概念与数学中的导数、微分的概念仍是有重大的区别，那就是导数、微分是有那所谓的“连续可微”的要求的。像前面我举的从外面走进一个人来的例子，那变化的人数是离散变量，不是连续变量——你不可能把一个人劈成两半，更不要说分成无穷多个无穷小的人——，严格来说是不能求导的——连续变量才能使用极限，将变化推至无穷小。然而，那是数学的要求，不是经济学的要求！经济学并没有数学那样的苛求，只要是有变化，无论大变小变、离散连续，都是变化，都能应用边际的概念。
这个经济学的边际与数学的导数的区别是意义重大的！在第三讲《自私的假设》里我已经指出，不能直接使用自私这假设去解释现象，而是要加上客观存在的局限条件的变化。没有局限条件的变化，人的行为就没有变化，自私的假设就无用武之地。经济学理论是看着局限条件的变化，推断人的行为会向着符合自私的方向变化，而不是向着违背自私的方向变化，然后我们调查一下现实中人们是否真的在那样的局限条件变化下如经济学所推断的那样改变他们的行为，就能验证经济学理论是否正确，也验证了自私的假设。所谓的科学理论要具有能被事实推翻的可能性（科学方法论中的术语是“可证伪性”， refutability ），就是这个意思。如果调查出来人们的行为果真是那样变化了，那就是理论（包括它所基于的自私假设）没被推翻，即得到证实，我们暂时接受它为正确。但如果人们的行为不是那样变化，那就是理论被推翻了，即被证伪了（ refuted ），那就要修正至不被事实推翻为止，或甚至要彻底废弃。所以，“可证伪性”与“被证伪”是两个完全不同的概念，前者是科学理论的特征，后者是错误理论的下场！（按：我要这样仔细辨析，是因为某以擅长哲学著称的中国经济学家竟然在他的文章中将这两个概念混为一谈，认为被证伪了的理论才是科学的理论！）
自私是对人的行为动机的假设，是看不到的东西；但局限条件的变化与人的行为的变化，全是可以观察到的事实。自私的假设加上局限条件的变化是经济学理论的解释，人的行为变化是对这解释的事实验证。因此，没有变化，就没有解释，也没有验证。而变化，就是边际！推而广之，不同也是变化，也是边际——同一个人的行为随局限条件的变化而变化，与不同的人在不同的局限条件下有不同的行为，这在逻辑上是同样的意思。大家回顾一下刚才从数学的角度所定义的边际概念——边际量是指作平均基准的数量变动一单位所导致的总量的变动。而这里从经济学的角度定义的边际概念——局限条件的变化所导致的人的行为的变化——不是与数学中的定义相对应的吗？但数学的定义没有什么内容，经济学的定义却是有着丰富的内涵，可以是包罗万象。
明白了上述的讲解，大家大概就能明白，为什么边际分析法在经济学里如此的重要。大家大概也能明白，曾有中国经济学家说什么边际分析只能用于分析从少到多的变化，如果要分析从无到有的变化就得使用所谓的“超边际分析”，那是对经济学中的边际概念多么狭隘的理解！这位经济学家的错误就在于他把数学上的导数、微分的概念生搬硬套到经济学里来理解边际的概念。正如前面提到过，经济学家最初把物理学中的均衡概念搬进经济学时，也是生硬地把物体的受力生搬硬套成经济力量，但物理学与经济学毕竟不是同一个学科，如此生搬硬套难免总会遇到格格不入、套不进来的情况，于是均衡的概念不得不加以调整。经济学家大多都只使用边际分析，不会使用什么超边际分析，这种“创新”始终没有得到经济学界的广泛认同与接受，其原因是很清楚的。
在这里，我也要顺便对数学在经济学中的作用与地位作一下评论。自从新古典主义引入数学之后，经济学越来越多地使用数学，时至今日，可以说是到了滥用、甚至是喧宾夺主的地步，对经济学发展的害处大于益处，可谓是走火入魔了。
首先大家要对数学的本质有清醒的认识。数学不是科学，而是逻辑学！而且还不是逻辑学的唯一形式，而只是一种符号逻辑。也就是说，数学在本质上是一个协助人们进行推理的工具，而且只是其中一种工具，人们要进行推理也不是非得使用这个工具不可的。在某些情况下，需要进行的推理层次繁复，而进行推理的人的脑力不足以应付时，数学是个不错的工具。我举个例子吧。大家在小学的时候大概都解过鸡兔同笼的算术题，很难很难，对吧？但那是因为当时你们只学过算术，到后来你们学了方程之后，鸡兔同笼这类的题目用方程这种数学工具来解答就变得极其简单。小学的算术课要你们用算术解鸡兔同笼的题目，只是为了用那种题目来训练你们的逻辑思维能力，在现实之中人们真的要解类似于鸡兔同笼的问题时是会直接使用方程的——事实上，那也正是为什么方程会被发明出来的原因！
类似地，一些经济学概念或理论用数学来表达会容易理解得多——尤其对于逻辑推理能力平平的人来说，更是这样。然而，数学仅仅是一种逻辑推理工具，它本身是没有内容的。实际上，恰恰是因为数学没有内容，它的应用范围才那么广：经济学可以用，物理学可以用，化学也可以用……实际上是一切自然科学都可以用，经济学作为一门社会科学却能最接近于自然科学，就是因为它能用数学。数学不提供内容，提供内容的是具体的学科——物理学提供属于物理学的内容，化学也提供属于化学的内容……自然，经济学就提供属于经济学的内容！也就是说，经济学可以不使用数学（只要你有足够强大的逻辑推理能力），但使用数学会让逻辑推理能力平平的人比较容易明白，可是使用数学时一定要给它补进经济学的内容。
事实上，在讲解经济学的概念与理论时，我都会挑能让大家最容易理解的方式来讲解。我会优先考虑使用有经济含义的方式来讲解，但如果数学确实是比较容易能让大家理解的，我还是会先讲数学，但最后一定会把经济含义补充进来，因为这才算是完整地讲解了有关的概念与理论。大家从刚才我讲解边际概念的过程，就应该能体会到我的这种做法——大方向上，我是先讲边际的数学含义，然后再讲边际的经济含义；小细节上，那一系列关于总量与边际量、平均量与边际量之间的关系的命题，用有人走进课室里的例子就能讲得大家明白的我都尽量用例子，不好用那例子讲明白的我才用几何图。
此外，数学作为一种工具，并不总是好用的。如果在某些情况下它不能把经济学的概念与理论很好地表达出来，我们就要本着“为我所用”这种实用主义的态度，一脚把数学踢开！绝不能让数学这件工具在经济学的领域里喧宾夺主，反倒为着要方便使用数学就硬把经济学的概念与理论扭曲了去迁就数学。这样做就变成“削足就履”了——鞋子制造出来是为了保护脚不受伤害的，怎么能为着把脚硬塞进一只尺码不合适的鞋子之中就把脚给削小了呢？这不是本末倒置，成了脚反而被鞋子伤害了吗？至于认为未经数学证明为对的经济学理论就不算是对的，就更是荒天下之大谬！我是主人，你是仆人，是我雇你来服务于我，你的服务不满足我的要求我就把你炒掉，哪有反而要得到你的同意我才能作主的道理？决定经济学理论的对错的，是事实！绝不是数学！
