就在拿破仑在圣赫勒拿岛去世的那年，即1821年，19岁的挪威青年阿贝尔进入了奥斯陆大学。3年以后，他自费出版了一本小册子《论一般五次代数方程之不可解性》，其中证明了以下结果：如果一个多项式的次数不少于5次，那么任何由它的系数组成的根式都不可能是该方程的根。这个结果的意义非常重大。中世纪的阿拉伯数学家将二次方程理论系统化，文艺复兴时期的意大利数学家通过公开辩论解决了三次、四次方程的求解问题，此后200多年间数学家们渴望解破的就是五次和五次以上的方程。
阿贝尔出生在挪威西南城市斯塔万格附近的芬岛，是个穷牧师的儿子，有7个兄弟姐妹。挪威如今是欧洲最富裕的国家之一，但那时候经济十分糟糕，还没有出过一个有名的科学家，所幸阿贝尔在教会学校遇到一位优秀的数学老师。阿贝尔少年时代便阅读了欧拉、拉格朗日和高斯的著作。他自以为找到五次方程的解法，但当时的挪威无人可以判断真假，于是他把文章寄到了丹麦。不料丹麦人也没看出对错，只请作者给出更多的例子，结果阿贝尔自己发现了问题。以后他便把精力转向否定方面，并最终取得了成功，那时他已是奥斯陆大学的学生了。
阿贝尔有了名声之后，向政府申请到一笔旅费，准备去德国和法国游学，但被要求先在祖国学好德语和法语。23岁那年，刚刚大学毕业的阿贝尔开始了远足。他先来到柏林，在那里交上了一位出版家朋友，后者在他的《纯粹数学与应用数学杂志》创刊号上发表了阿贝尔的7篇论文，其中包括五次方程的不可解性的证明。这本杂志是现存最古老的数学杂志。与此同时，阿贝尔了解到，包括高斯在内的那些收到他论文的大数学家均没有认真阅读，于是他绕过格丁根，直接去了巴黎。同样，柯西和其他法国数学家也漠视了阿贝尔的工作。
两年后阿贝尔回到祖国，那时他已经染上肺结核，贫病交迫，仅靠做家庭教师和朋友的资助维持生计。直到此时才有一些欧洲的同行认识到他工作的价值。1828年秋天，4名法兰西科学院院士联名上书挪威国王，要求为这位天才安排职位。第二年春天，在那位出版家朋友的努力下，柏林大学终于为阿贝尔提供了教授职位，但就在聘书寄达奥斯陆两天以前，阿贝尔与世长辞了。
阿贝尔在否定五次及五次以上方程存在一般解的同时，也考虑了一些特殊的能用根式求解的方程，其中一类即“阿贝尔方程”。在这项工作中，他实际上引进了抽象代数里“域”的概念。早在18世纪的最后一年，高斯在他的博士论文中率先证明：n次代数方程恰好有n个根（代数基本定理），给了数学家以信心。在阿贝尔的工作之后，他们便面临这样一个问题：什么样的方程可以用根式来求解？这个问题将由另一位早夭的天才伽罗华来回答。他在阿贝尔去世后的两年时间里，迅速建立起了判别方程根式可解的充分必要条件。
1811年，伽罗华出生在巴黎附近的一座小镇，家境原本优裕。伽罗华从小接受良好的教育。18岁时，父亲因遭人诬陷愤而自杀，他本人报考巴黎综合工科学校未果（可能是因知识片面未能通过面试），后来进了巴黎高等师范学校，次年便因为参加反对波旁王朝的运动遭校方开除，不久被当局抓捕并判刑。获释后伽罗华谈了一场恋爱，并为情决斗而死去，年仅20岁。
和阿贝尔一样，伽罗华读中学时遇到一位好的数学老师，把他带入奇妙的世界。很快，他抛开教科书，直接阅读拉格朗日、欧拉、高斯和柯西等大师的原作，并构造出群的概念。本来伽罗华人在巴黎，又在名校读书，可以避免阿贝尔那样的不幸，不料他递交给法兰西科学院的三篇论文也被柯西等大数学家忽视甚或遗失。幸好他参加决斗的前夜预感到自己的结局，以书信的形式写下了科学遗嘱，加上其他手稿，给后世的数学家留下了珍贵的遗产。值得一提的是，伽罗华生前只发表了一篇短文，死后的文稿总共才60页。
伽罗华的工作开启了近世代数的研究，他不仅解决了方程可解性这个300多年的数学难题，更重要的在于，包括运算对象在内的群的概念（与元素的对象无关，置换群是其特例）的引进导致了代数学在对象、内容和方法上的深刻变革。随着数学和自然科学的发展，群有着越来越广泛的应用，从晶体结构到基本粒子、量子力学等。与此同时，我们也看到，阿贝尔和伽罗华等人的工作使代数学家把注意力从解方程中解放出来，把更多的精力投入数学内部的发展和革新。