4.1简单人力资本博弈过程分析
构造一个简单的博弈模型：假定有两个参与人，即企业和员工，博弈有三个步骤。在博弈的初始阶段，企业首先对员工进行一般培训还是特殊培训做出选择。在博弈的第二阶段，也就是培训形式既定的情况下，员工决定是否对此种培训进行投资。假定企业选择一般培训后，员工可选择接受培训而进行投资，也可以选择不投资。同样若企业选择特殊培训后，员工也有投资或不投资这两种选择。在博弈的第三阶段，也就是员工已对一定的培训形式做出投资与否的选择后，企业根据员工的选择，相继再次做出自己的选择，即对一定的培训形式做出投资与否的最终决策。有关博弈的整个过程及支付函数，通过博弈树来表示(如图)，图中方括号内第一个数字或字母串代表企业的收益，第二个数字或字母串代表员工的收益。其中Rq，qr分别代表企业在员工接受特殊培训与一般培训后的收益，Ry，，yr分别代表员工接受特殊培训与一般培训后的收益；Cs，Cc分别代表特殊培训与一般培训的成本。
现在先假定这样的博弈只进行一次，则利用反向归纳法求这个博弈的纳什均衡。给定企业选择一般培训，员工选择不投资，如果企业选择投资，企业将得到qr－Cc的收益；如果企业选择不投资他将得到的收益是0。所以理性的企业的最优选择是投资(因为qr－Cc>0)。回到博弈的第二阶段，如果有理性预期而知道企业会选择投资，那么员工的最优选择是不投资。因为员工选择投资，获利yr－Cc,而选择不投资，能获取yr的收益，显然yr>yr－Cc
| 企业 |
| 员工 |
| 员工 |
| 企业 |
| 企业 |
| 企业 |
| 企业 |
| rq，ry-Cc |
| rq-Cc，ry |
| 0，0 |
| Rq-Cs，ry |
| Rq，Ry-Cs |
| 0,0 |
| C代表一般培训 S代表特殊培训 Y代表投资 N代表不投资 |
| S |
| C |
| Y |
| N |
| Y |
| N |
给定企业提供特殊培训，求得企业的最优选择仍然是投资，而员工的最优选择是不投资。此时整个博弈进入第一阶段。那么企业将选取何种培训形式进行投资来增加本企业的人力资本呢?此时只需比较两种培训形式下各自收益即可：如果选择一般培训进行投资，企业可获利rq－Cc;如果选择特殊培训进行投资，企业获利为Rq-Cs。究竟rq-Cc与Rq－cs哪一个获利更大呢?因为前面己对特殊培训作了说明，因此必然有Rq－cs>rq－Cc。
这样就找到了这个博弈的均衡解：企业选择特殊培训进行投资而员工选择不投资。这一点，有些类似于著名的 ，企业是“大猪”，而员工是“小猪”。企业选择一定的形式进行投资，而员工则搭乘企业的便 。
这个博弈在均衡路径上是企业选择对特殊培训进行投资，而员工选择不投资，这是符合实际并是令人置信的。贝克尔认为，接受特殊培训的员工之所以得到企业支付的培训费用和较高的工资，是因为企业为了降低受过特殊培训的员工的流动性和害怕该员工离去会给企业带来更大的损失。事实上，受过特殊培训的员工具有较多的人力资本，这种人力资本投入生产可以给企业创造更大的利润，所以企业从自身利益最大化出发，愿意支付较高的工资以及部分或全部的特殊培训费用。同时对接受特殊培训的员工而言，特殊培训产生的人力资本具有专用性且成本较一般培训要高得多，一旦员工陷入失业，再次就业的机会很小，因此员工从自身利益考虑不会对特殊培训进行投资。
4.2个体在职培训博弈分析
本节从博弈论角度建立一个人力资本投资的在职培训决策的模型，用来进行个体人力资本投资的决策分析。
假设第i个个体对人力资本的投资数量为 ，则整个社会对人力资本的总投入数量为： ，n为社会中个体的总数。
再假定每个个体具有相同的效用函数，其效用函数为 ，其中为个体i除了人力资本以外的其他投入品数量。在这里，假定人力资本具有溢出效应，也就是说，当其他的个体因投入而获得了知识、技能等人力资本的时候，可以在不同的个体之间无偿的传递。因此具有公用物品的性质。
假定再令为其他投资的单位成本，为培训的单位成本，为个体的预算总收入。那么每个个体面临的问题是，给定其他个体的选择情况下，选择自己的最优战略以实现其效用的最大化，即
S．t． （i=1，2，3，……n） （4.1）
建立拉格朗日函数，得
(4.2)
这里，λ又为拉格朗日乘数。
那么，最优化的一阶条件为：
（4.3）
因此有 （4.4）
这是每个个体的最优的纳什均衡条件，此n个均衡条件决定了个体通过在职培训提高人力资本的博弈的纳什均衡：
， （4.5）
而纳什均衡的总投入为 （4.6）
假定个体的效用函数取柯布-道格拉斯方程，即
这里α表示个体其他投资对收益的收益率，β为个体人力资本投资对效用的收益率。则有 （4.7）
， （4.8）
代入均衡方程， 则有 , (4.9)
将此式代入预算约束（4.2），则
（4.10）
整理上式，则得到反应函数为
，i=1，2，3，…，n （4.11）
上式意味着，个体预算总收入的大小直接影响该个体对人力资本投入的多少，总收入越大，人力资本投入量就越多。同时，任何一个个体的人力资本的投入都依赖于其他个体的人力资本投入。
纳什均衡的人力资本总投入为：
解得， (4.12)
下面来求帕累托最优。
假定社会总福利函数为： Ф≥0 (4.13)
总预算约束为
， (4.14)
现在，可以建立拉格朗日函数，得
(4.15)
令 , (4.16)
令，得
因此 (4.17)
代入前式，可得 (4.18)
所以，可得 (4.19)
将此式代入预算约束（4.6），可得帕累托最有条件下的最优解为：
(4.20)
将先前计算的纳什均衡条件下的人力资本投资的大小与帕累托最优条件下的投资大小进行比较，可以得到：
(4.21)
所以可知道
可以得到结论：帕累托最优条件下的人力资本投资大于纳什均衡条件下的人力资本投资，本文研究了在完全竞争劳动力市场情况下，企业与员工之间就特殊性在职培训所进行的博弈行为。
假设培训的收益不仅由企业的投资水平决定，它也受到员工努力水平的影响。研究表明，如果企业与员工之间只进行一次博弈，企业对员工的承诺将是不可信承诺，员工也就不会付出努力；如果企业重视长远的总收益，即企业与员工之间能够进行无限次重复博弈，企业对员工的承诺将是可信承诺，员工将付出最优程度努力。
4.3 员工特殊性在职培训的无限次重复博弈模型
如果企业不仅重视当前收益，而更重视长期的总收益，企业与员工之间就能进行一种无限次重复博弈。此时的“员工”概念并不是狭义地指某位或某期员工，而是一个广义的“员工”概念，泛指该公司现在以及将来的所有员工。在无限次重复博弈中，如果博弈的一方在某次博弈中选择了不遵守承诺，那么在以后的博弈中另一方会施行“冷酷战略”，在以后的阶段都不会选择努力。也就是说，如果企业选择了不遵守承诺，那么，以后所有员工将再也不会选择在培训中付出努力。这样，企业的声誉将发挥重要作用，下面分两种情况对问题进行分析。（1）企业在第1次博弈中选择了不遵守承诺，那么，企业在第1次博弈中的收益为： (4.22)
由于企业在第1次博弈中选择了不遵守承诺，那么，以后所有员工将再也不会相信企业会遵守承诺，于是员工选择付出努力,于是企业在以后每次博弈中的策略都将会是不对员工的通用人力资本投资，此时企业的收益为。
于是，可以得到企业在第1次博弈中选择不遵守承诺时的总收益为：
(4.23)
其中为贴现因子。
2)如果企业在第1次博弈中选择了遵守承诺，那么，企业在第1次博弈中的收益为：
(4.24)
由于企业在第1次博弈中选择了遵守承诺，那么，以后所有员工将相信企业会遵守承诺，从而付出努力。所以，企业在以后博弈过程中的收益都与第1次博弈相同。于是，可以得到企业在第1次博弈中选择遵守承诺时的总收益：
（4.25）
比较 式 (4.24)，(4.25)可知，当
。 (4.26)
也就是说，企业在第1次博弈中选择遵守承诺时的总收益高于选择不遵守承诺时的总收益。这时，企业就会选择遵守承诺。这样一来，由于，员工也就会选择付出努力。而又因为，所以企业会选择对员工的通用人力资本进行投资。于是，可以得到结论2：如果企业与员工进行无限次重复博弈，当贴现因子
企业选择对员工通用人力资本进行投资，员工付出努力，企业承诺员工分享投资收益比例p*并遵守该承诺是一个子博弈精炼纳什均衡。
