以上就是等优曲线的四大特征。前面我们在第八讲的时候已经学习过互补品和替代品，它们的等优曲线在书上 93 页有画出来。完全替代品的等优曲线是直线，完全互补品的等优曲线是直角，这世上绝大部分的商品是位于这两个极端之间，因此一般情况下的两种商品的等优曲线是凸向原点的曲线。有关的分析很简单，我不细讲了，大家课后自行阅读 92 ～ 94 页的内容。
以上大家学了一大堆东西，还只是消费者理论对人的意图（偏好）的假设。要更进一步地求出消费者的最优选择（或所谓的消费者均衡），还得加上局限条件。因为等优曲线只是告诉我们以下信息：有些点（商品组合）是等优的（它们在同一条等优曲线上），越远离原点的等优曲线代表的效用水平（使用价值）就越高。站在人是自私的角度来看，再无其它局限条件的约束的话，人会选择无穷无尽地远离原点的那条等优曲线上的无数个点（商品组合）来消费。显然，这样的回答毫无意义，无助于我们推断消费者的行为。
于是，接下来大家要再学一条叫“预算线”（ budget line ）的东西，就是用来反映消费者进行消费选择时所面临的局限条件。大家看书上的 84 页的图。那阴影三角形的斜边就是预算线，是根据预算约束方程（ 84 页的方程 4-1 ）画出来的直线。这预算约束方程或预算线的经济含义是：消费者进行消费选择时所面临的局限条件有两个，一个是收入，一个是价格（ X 商品与 Y 商品的相对价格）。试想一下，如果没有收入有限的约束，消费者想买什么就能买什么，那他是不需要选择的，在自私与物品是越多越好的条件下，所有商品他都会消费无穷之多。或者是虽然收入有限，但如果物品是不需要支付任何价格就能买到的，则收入有限也不成为约束，消费者同样是会消费无穷之多的商品。就是收入有限，购买商品又要支付价格，消费者才需要考虑以下问题：我怎么把我的有限收入分配在不同的商品上进行消费，才是最有利于我的呢？所谓“最有利”就是“最优”，根据上述的偏好定律，消费者的最优就是寻求效用最大化（这是自私假设的含义）——当然是有收入与价格约束下的效用最大化。
我们先来看这消费者最优选择（或所谓的消费者均衡）的几何解。从 84 页上的图可见，将预算线与等优曲线画在同一个直角坐标系中，大家会发现，等优曲线与预算线的位置关系有三种：相交（如 U1 ）、相切（如 U2 ）与相离（如 U3 ）。显然，相离（ U3 ）的等优曲线最远离原点，代表着最高的效用水平（使用价值），是最有利于消费者的。然而，这条等优曲线虽然很好，可惜消费者到达不了！因为这条等优曲线与预算线相离，其经济含义是：等优曲线上的每一点（商品组合），在现有的价格水平与这消费者的收入水平的局限条件之下，都是这消费者买不起的。我也想住豪华别墅，我也想天天山珍海味、鱼翅捞饭（粤语俗话，意为鱼翅拌饭），我还想坐着渡轮环游世界……这世上多的是我想做的事情（直角坐标系的平面上多的是代表着很高的效用水平的商品组合的点），可惜我办不到！另外两条等优曲线中，相交（ U1 ）的那条从 Q 点到 R 点的那段弧都是这消费者买得起的商品组合，但这条等优曲线位置太低，也就是代表的效用水平太差（是三条等优曲线中最差的），消费者可没兴趣选择它。剩下的是相切的那条等优曲线（ U2 ），上面有没有点是这消费者买得起的呢？有，只有一点，就是那切点 C* ！有一点就够了，那一点就是消费者的最优选择，因为这是消费者在现有的局限条件（收入与价格）之下所能达到的位置最高的一条等优曲线上唯一一个他买得起的商品组合！
以上是几何解，接下来我们看相应的代数解。既然几何解是等优曲线与预算线的切点，那么换成代数方式来表达的话，就是求这两条线的斜率相等。预算线是直线，其斜率就是把相应的预算约束方程调整为等号左边只有 y ，其余各项移到等号右边去，整理出来的 x 的系数就是这预算线的斜率，那就是 Px/Py ，即两种商品的相对价格。而等优曲线的斜率呢？微积分知识已经告诉我们，曲线的斜率就是导数 dy/dx 嘛！在经济学中，等优曲线的斜率 dy/dx 称为“消费的边际替代率”，其经济含义是指为了增加消费其中一种商品的一个单位，在保持效用水平（使用价值）不变的前提下需要减少消费另一种商品的数量，也就是以其中一种商品的消费去替代另一种商品的消费的边际量。于是， dy/dx=Px/Py 就是消费者最优选择（或所谓的消费者均衡）的代数解。
上述的几何解与代数解都是数学上所谓的“内角解”，但也会出现所谓“角点解”的情况。大家看黑板上的图。与预算线相切的等优曲线是 U2 ，但切点位于负数域内，显然这在现实中不可能出现。于是消费者只好退而求其次地选择 U1 这条等优曲线，因为它是所有与预算线在正数域有交点的等优曲线中已经是最远离原点（也是最靠近 U2 ）的了。 U1 与预算线的交点就是预算线与纵轴的交点，其经济含义是这个消费者所有的收入都花在 Y 商品上， X 商品一点都不买（消费量为零）。现实中有大量的商品是我完全不购买的，例如豪华别墅、环球旅游等昂贵的商品，也有价格很便宜、但质量奇劣无比的商品，还有其它我认为对我完全没有使用价值的东西（如以马达加斯加语写的一本小说），它们都属于这种 X 商品。顺便说一句，有必要对 X 、 Y 商品作广泛的理解，如角点解时的 X 商品可理解为是所有你不购买的商品，而 Y 商品则可理解为 X 商品以外的其它所有你或多或少会买一些的商品。这样，这个看似十分远离现实的两商品模型就并不是那么不切实际了。
