以前在不同的文章里已经谈过很多次关于经济学与数学的问题，所以本文还是用上“再谈”这样的词汇。

既然是“再谈”，就要对这个问题谈得比以前更为深入。大致上，我的《经济学讲义》中第七讲里“经济学中滥用数学的问题”一节算是可以作为《谈经济学与数学》的文本。

在经济学中使用数学，在我看来有以下几个层面：

最低档的层面，当然是滥用数学的那帮人的层面，既是经济学只学了个半桶水（可能半桶水也没有，四分之一、五分之一、六分之一……桶水而已），数学也没学好，只管把数学模型搞得无比复杂、繁琐，却说不出其经济含义何在。当然，即使数学模型搞得并不复杂，也一样有可能是属于这种低档的层面，例如博弈论中的“囚徒困境”用到的数学一点也不复杂，但搞这个模型的人显然根本没想明白它的经济含义是什么，否则早该看出这个模型的问题所在。我在《经济学讲义》下册的“觅价”一讲的最后已经详细批驳了“囚徒困境”，这里就不再重复了。

此外，这种层面的另一个表现，是惯于滥用数学的人，脑子反而会变得僵化死板。举例说明吧。一位朋友在一次学术讲座上谈政府质量监管的问题，指出受到政府监管的产品反而出现质量下降的现象。听了讲座的另一个人虽然同意这观点，却来问：“你能证明政府监管的力度与产品质量的水平是线性关系吗？”这让我那朋友大为愕然。为什么非要是线性关系呢？为什么要如此僵化地理解这一点呢？后来那朋友与我谈起这事，我略一思索就说：“我估计那人是想把你这观点拿去做一个回归分析的文章，那当然是二者有线性关系的话就容易做回归分析了。”但做事实验证不等于要做回归分析，可是要做回归分析的话在技术上确实如果是线性关系要容易得多。正是因为有了这个数学框框的约束，这个人的思路就给拉偏到“是否线性关系”这个根本不重要的点上去了。

中档的层面，是能把数学与经济学结合得很好，将数学模型或数学公式的经济含义说得清清楚楚。这数学模型或数学公式可能复杂也可能简单，这不是重点，重点是能把经济含义说出来，而且是说得有深度的——如果是很简单的道理，用文字都能说得清楚明白，却反而用很复杂的数学去表达，那是装B，不是牛B。

让我来举例说明吧。也是在与张五常教授电话聊天的过程中，他批评经济学中使用的数学时，我提醒他说：“你的《佃农理论》如果不是用数学证明，要清楚且极具说服力地让大家看到你的观点对、传统的观点错，谈何容易！”教授承认，但认为那种情况很罕见。真的很罕见吗？我看未必。后来张五常教授在科斯的影响下，不再在学术文章中使用数学，但像“座位票价”那样的文章、《经济解释》中关于生产者理论（供应的行为）的部分，虽然没有使用一个数学符号，我还是认为教授在写作的时候脑子里想着的就是一条条几何曲线。他要是直接把这些想着的几何曲线画出来，会大大有助于读者的理解，硬是不用，反而增加了理解的难度。文章是为了表达作者的思想，作者有责任使用最有利于读者理解的方式来传达他的想法，从而降低沟通的交易费用。何必囿于是不是用了数学呢？我们反对的是滥用数学，而不是无条件地反对使用数学啊。

当然，张五常教授的《佃农理论》里用到的数学比较难（主要是几何很难，代数是不难的），可能会让大家望而生畏，觉得自己很难达到这个中档的水平。但我要再次强调，在这个层面上，重点并不在于数学用得复杂不复杂，而在于有经济含义、且具有相当的深度。其实，如果能配以形式上很简单的数学，就能表达出很深刻的经济含义，会让人更深切地感受到科学之美、数学之美。

让我来作些示范吧。在向学生讲授弗里德曼的“永久收入假说”时，为防有些学生没学过“统计概率”或“统计学”的基本知识，就先简单普及了一下。学生在中学都一定学过函数，例如圆面积的数学公式S＝pai*r^2就是个典型的函数S=f(r)，反映着圆半径r与圆面积S之间有着确定的关系（1单位的r就一定有pai单位的S，2单位的R就一定有4pai单位的S……如此类推）。

但在现实中，有很多变量之间的关系不会如此确定。例如一个人的身高（假设以H表示）与其体重（假设以W表示）的关系，就不存在确切的关系，即无法写出函数W=f(H)。但二者也不是毫无关系，我们都知道大致来说，一个人的身高越大，其体重也会越大，成正相关。对于这类变量之间的关系，怎么处理呢？办法就是通过统计来收集大量的数据，最常见的进一步处理就是做成回归方程，即把二者的关系写成W=f(H)+e'，其中f(H)当然是函数，但其实二者之间不是确切的函数关系，所以再加上一个e'这样的随机变量，以反映偏差。

想深一层，为什么会出现偏差呢？也就是从经济含义来想，为什么身高与体重之间无法构成严格确切的函数关系呢？显然，答案是因为一个人的身高并不仅仅取决于他的体重。例如还有一个很重要的因素是胖瘦的程度：一个瘦高的人的体重完全有可能小于一个矮胖的人的体重。如果我们把胖瘦的因素也纳入考虑之内，增加胖瘦这个因素的数据统计，重新再做回归分析，则二者的关系就要改写成W=f(H,P)+e''（其中P是反映胖瘦程度的统计指标）。这时e''仍是随机变量，反映着W的真实值与用函数f(H,P)推算出来的W的数值的偏差。原则上e''的偏差要比e'小，但仍然不为0。继续想为什么还存在着偏差，答案是因为一个人的体重除了取决于身高、胖瘦之外，还有其它因素会发挥作用。例如两个同样高矮胖瘦的人，一人是北方人因此骨架大，另一人是南方人因此骨架小，则前者的体重会大于后者。这样，我们可以继续把骨架大小的因素也加进上述的回归方程之中，使得作为随机变量的偏差进一步减少。这个过程理论上可以一直无穷无尽地做下去，偏差就越来越小；直到所有会影响体重的因素都纳入进来，偏差就会减少至0，这时关于体重的方程就成了不包含随机变量的函数，与所有因素之间的关系是确切的。

再想深一层。从上述的分析来看，其实理论上所有关系都可以是确切的函数关系，那为什么事实上人们在现实中大量使用的是并非圆面积那样的函数，而是根据统计数据构造出来的、包含着随机变量的回归方程呢？因为有些因素虽然对体重有影响，但影响很微弱，把它也纳入回归方程的函数部分所带来的精确性上升的好处，抵消不了为此而要收集更多统计数据所带来的成本上升的坏处，于是就索性不管它了，用一个随机变量来大而化之地反映它的存在就算了。换一个角度来说，回归方程中的随机变量是用于存放那些没调查到的、但对因变量多多少少还是有些影响的未知因素（自变量）。想到这一步，如果你能结合经济学理论，从经济含义的角度来想，就能明白，那随机变量的存在是因为信息费用不为0！如果信息费用为0，所有相关因素都能无成本地调查得清清楚楚，则所有关系都将是确切的函数关系，随机变量不可能存在。

如果能想到这最深的一层，回头去看弗里德曼的“永久收入假说”就很清楚了，那即期收入（消费）是永久收入（消费）加暂时收入（消费），其中永久收入与永久消费有确切的函数关系，而暂时收入（消费）就正是相当于回归方程中的随机变量，本质上其实就是“盈利”——因为暂时收入（消费）的定义是预期之外的收入（消费），不正与盈利（或负盈利）是同一回事吗？再回顾《经济学讲义》上册中的“租值的概念”一讲最后讲“盈利”的成因是存在着信息费用，使得人们无法完全准确地预计未来，所以才会出现这预期不到的收入（或负收入）的出现。这样两边（数学与经济学）一结合思考，对两边的理解程度都会大大深化。害怕数学的人，是不是一下觉得数学其实很有意思？

最高档的层面，是在把数学与经济学结合得很好、能将数学模型或数学公式的经济含义说得清清楚楚的基础上，能看到数学力有不逮之处，然后不被数学的形式所框住，将更深刻的经济含义发掘出来。这是将数学为我所用而又不会为之所困的境界，当然是最高端的境界了。继续让我用一些只需用到很简单的数学的例子来加以说明。

学过“国际贸易”（或“国际经济学”的“贸易部分”）的人都知道斯密的绝对优势理论，一般的国际贸易教材里讲解绝对优势理论时，会用一个虚拟的数字例子来说明其推理过程，在此基础上还会发展出几何图的分析（把“生产可能性曲线”与“社会等优（无差异）曲线”合起来求均衡点）。其实斯密提出其绝对优势理论时并没有使用数字例子，使用数字例子的是李嘉图，后人参照李嘉图的数字例子为斯密的绝对优势理论“量身订造”出一个数字例子。而几何图的分析更是后来的新古典经济学家干的事。无可否认，使用数字例子、几何图这些数学工具，能让学生很容易就被说服，因为在这个问题上数学的逻辑性与直观性比文字确实要强。

然而，用数学来表达斯密的思想其实力有不逮之处。为什么呢？因为无论数字例子也好，几何图也好，它们的假设都是两个经济主体在没有贸易之前就已经存在着技术差异（有不同的绝对优势），于是整个推导的结论是：先有绝对优势，然后有专业分工，最后通过贸易实现利益及其分配。但斯密的意思根本不是这样！他说的是，即使不同的经济主体这间完全没有技术差异（没有绝对优势的不同），通过分工就能带来生产效率的暴增，从而相对于不专门从事该项生产活动的人来说具有了绝对优势。因为在斯密那个用于展示分工的威力的例子——那个关于制针工厂的例子——里，从事不同生产环节的人可并不是因为特别擅长从事那个环节才分工去从事那个环节的。在分工之前，所有人都一样，毫无差别，不存在谁对谁在哪个方面有优势；是分工带来了绝对优势，而并非绝对优势带来了分工。整个因果关系，完全颠倒了！当然，数字例子与几何图的分析也对，但并没有真正抓准斯密的思想的重点——重点是分工，而不是绝对优势。

一般的“国际贸易”的教科书的撰写者，完全没有明白这一点，也就完全没有明白斯密的伟大之处——我看过有外国的教科书，甚至是把绝对优势理论都省略掉了，直接讲李嘉图的比较优势，这显示了撰写者只是简单地把斯密的绝对优势理论理解为李嘉图的比较优势理论的前身。不关心经济思想史发展的人，自然觉得直接讲述最终的正确理论就够了，在它之前的发展不谈也罢。但其实斯密的那个所谓绝对优势理论的重大意义在于他提出的分工对于提升生产效率的强大威力，绝对优势、进而专业化生产（分工）后进行的贸易都只是附庸于分工而存在，因为没有跟随其后的贸易，人在消费方面的多样性需求会使得分工无法生存下去。但李嘉图的比较优势理论就真的是着重于根据不同的优势（技术水平）进行分工（即比较优势是因、分工是果），而这不同的优势不是绝对优势，而是比较优势，隐含地提出了机会成本的概念。

从这个意义上看，李嘉图的比较优势理论与斯密的绝对优势理论并不是简单的继承关系，而是李嘉图把斯密的思想中一个不太重要的部分加以发挥。斯密的理论其实是分工理论，而李嘉图的理论是（机会）成本理论，着重点完全不同。成本理论用数学来表达能够充分地表达，但分工理论用数学是表达不出来的，普通的教科书一律用数学来表达，导致斯密的理论与李嘉图的理论在本质上的根本不同完全没能表现出来。

这，就是经济学思维中数学力所不逮之处啊！